Z-Test Definition

Was ist ein Z-Test?

Ein z-Test ist ein statistischer Test, der verwendet wird, um festzustellen, ob zwei Populationsmittelwerte unterschiedlich sind, wenn die Varianzen bekannt sind und der Stichprobenumfang groß ist. Es wird angenommen, dass die Teststatistik normalverteilt ist, und Störparameter wie die Standardabweichung sollten bekannt sein, damit ein genauer z-Test durchgeführt werden kann.

Eine z-Statistik oder ein z-Score ist eine Zahl, die angibt, wie viele Standardabweichungen über oder unter dem Populationsmittelwert ein aus einem z-Test abgeleiteter Wert liegt.

Wichtige Erkenntnisse

  • Ein z-Test ist ein statistischer Test, um festzustellen, ob sich zwei Populationsmittelwerte unterscheiden, wenn die Varianzen bekannt sind und der Stichprobenumfang groß ist.
  • Er kann verwendet werden, um Hypothesen zu testen, bei denen der z-Test einer Normalverteilung folgt.
  • Eine z-Statistik bzw. ein z-Score ist eine Zahl, die das Ergebnis des z-Tests darstellt.
  • Z-Tests sind eng mit t-Tests verwandt, aber t-Tests werden am besten durchgeführt, wenn ein Experiment eine kleine Stichprobengröße hat.
  • Außerdem wird bei t-Tests davon ausgegangen, dass die Standardabweichung unbekannt ist, während z-Tests davon ausgehen, dass sie bekannt ist.

Wie Z-Tests funktionieren

Beispiele für Tests, die als z-Tests durchgeführt werden können, sind ein Ein-Stichproben-Lokalisierungstest, ein Zwei-Stichproben-Lokalisierungstest, ein gepaarter Differenztest und eine Maximum-Likelihood-Schätzung. Z-Tests sind eng mit t-Tests verwandt, aber t-Tests werden am besten durchgeführt, wenn ein Experiment eine kleine Stichprobengröße hat. Außerdem gehen t-Tests davon aus, dass die Standardabweichung unbekannt ist, während z-Tests davon ausgehen, dass sie bekannt ist. Wenn die Standardabweichung der Population unbekannt ist, wird angenommen, dass die Stichprobenvarianz der Populationsvarianz entspricht.

Hypothesentest

Der z-Test ist ebenfalls ein Hypothesentest, bei dem die z-Statistik einer Normalverteilung folgt. Der z-Test wird am besten für Stichproben von mehr als 30 Personen verwendet, da nach dem zentralen Grenzwertsatz mit zunehmender Anzahl von Stichproben davon ausgegangen wird, dass die Stichproben annähernd normalverteilt sind. Bei der Durchführung eines z-Tests sollten die Null- und Alternativhypothese, Alpha und der z-Score angegeben werden. Anschließend sollte die Teststatistik berechnet und die Ergebnisse und die Schlussfolgerung angegeben werden.

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Beispiel für einen Z-Test bei einer Stichprobe

Angenommen, ein Anleger möchte testen, ob die durchschnittliche tägliche Rendite einer Aktie größer als 1 % ist. Eine einfache Zufallsstichprobe von 50 Renditen wird berechnet und hat einen Durchschnitt von 2 %. Angenommen, die Standardabweichung der Renditen beträgt 2,5 %. Daher ist die Nullhypothese, wenn der Durchschnitt, oder Mittelwert, gleich 3 % ist.

Umgekehrt ist die Alternativhypothese, ob die mittlere Rendite größer oder kleiner als 3% ist. Nehmen Sie an, dass ein Alpha von 0,05% mit einem zweiseitigen Test gewählt wird. Folglich gibt es 0,025% der Stichproben in jedem Tail, und das Alpha hat einen kritischen Wert von 1,96 oder -1,96. Wenn der Wert von z größer als 1,96 oder kleiner als -1,96 ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Der Wert für z wird berechnet, indem man den Wert der für den Test ausgewählten durchschnittlichen täglichen Rendite, in diesem Fall 1 %, vom beobachteten Durchschnitt der Stichproben abzieht. Als nächstes wird der resultierende Wert durch die Standardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel aus der Anzahl der beobachteten Werte. Daher wird die Teststatistik zu 2,83 berechnet, oder (0,02 – 0,01) / (0,025 / (50)^(1/2)). Der Anleger lehnt die Nullhypothese ab, da z größer als 1,96 ist, und schließt daraus, dass die durchschnittliche tägliche Rendite größer als 1 % ist.

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